Question

已知二次函数f（x）满足：函数f（x+1）为偶函数，f（x）的最小值为-4，函数f（x）的图象与x轴交点为A、B，且AB=4，求二次函数f（x）的解析式．

Answer 1

分析：待定系数法：设f（x）=ax²+bx+c（a＞0），由f（x+1）为偶函数可得a与b的关系，从而可求得对称轴，根据f（x）的最小值为-4，可得a与c的关系，从而f（x）的系数可用a表示，令f（x）=0可求得x值，然后表示出点A、B的距离，令其为4可求得a值．

解答：解：设f（x）=ax²+bx+c（a＞0），
则f（x+1）=a（x+1）²+b（x+1）+c=ax²+（2a+b）x+（a+b+c），
∵函数f（x+1）为偶函数，
∴2a+b=0，得b=-2a，
∴函数f（x）的对称轴为x=-

b

2a

=1，且f（x）=ax²-2ax+c，
∵f（x）的最小值为-4，
∴f（1）=-4，即a-2a+c=-4，∴c=a-4，
∴f（x）=ax²-2ax+a-4，
由f（x）=ax²-2ax+a-4=0，得x1=1-

4 a

，x2=1+

4 a

，
∴A、B的距离为|x₁-x₂|=2

4 a

=4，解得a=1，
∴f（x）=x²-2x-3．

点评：本题考查二次函数解析式的求法及其性质，属基础题，深刻理解“三个二次”间的关系是解决该题的关键．