Question

（2013•兰州一模）选修4-4：《坐标系与参数方程》
在直接坐标系xOy中，直线l的方程为x-y+4=0，曲线C的参数方程为

x= 3 cosα y=sinα

（α为参数）
（Ⅰ）已知在极坐标（与直角坐标系xOy取相同的长度单位，且以原点O为极点，以x轴正半轴为极轴）中，点P的极坐标为（4，

π

2

），判断点P与直线l的位置关系；
（Ⅱ）设点Q是曲线C上的一个动点，求它到直线l的距离的最小值．

Answer 1

分析：（I）先利用点的极坐标和直角坐标的互化公式，把极坐标系下的点（4，

π

2

）化为直角坐标，再在直角坐标系下判断点P与直线l的位置关系；
（II）根据曲线C的参数方程，设点Q的坐标为（

3

cosα，sinα），再利用点到直线的距离公式求出点Q到直线l的距离，最后利用三角函数的性质即可求得d的最小值．

解答：解：（I）把极坐标系下的点（4，

π

2

）化为直角坐标，得P（0，4）．
因为点P的直角坐标（0，4）满足直线l的方程x-y+4=0，
所以点P在直线l上．…（5分）
（II）设点Q的坐标为（

3

cosα，sinα），
则点Q到直线l的距离为d=

| 3 cosα-sinα+4|

2

=

2

cos（α+

π

6

）+2

2

由此得，当cos（α+

π

6

）=-1时，d取得最小值，且最小值为

2

．…（10分）

点评：本题考查点的极坐标和直角坐标的互化，参数方程与普通方程的互化，考查点线距离公式的运用，属于基础题．