Question

（12分）如图正方形ADEF与梯形ABCD所在的平面互相垂直，AD⊥CD, AB//CD，AB=AD=2，CD=4，M为CE的中点。

（I）求证：BM//平面ADEF；

（II）求证：平面平面BEC；

（III）求平面BEC与平面ADEF所成锐二面角的余弦值。

Answer 1

（1）证明：取DE中点N，连结MN，AN

 

在ΔEDC中，M、N分别为EC, ED的中点，所以MN//CD，且MN=CD.

由已知AB//CD, AB=CD，所以MN//AB, 且MN=AB。

所以四边形ABMN为平行四边形，所以BM//AN

又因为AN平面ADEF，

且BM平面ADEF，

所以BM//平面ADEF。……（4分）

（2）证明：

在正方形ADEF中，ED⊥AD，

又因为平面ADEF⊥平面ABCD，

且平面ADEF∩平面ABCD=AD，

所以ED⊥平面ABCD，所以ED⊥BC.

在直角梯形ABCD中，

AB=AD=2, CD=4，可得BC=

在ΔBCD中，BD=BC=，CD=4，

所以BC⊥BD。

所以BC⊥平面BDE，又因为BC平面BCE，

所以平面BDE⊥平面BEC。       ……（9分）

（3）由（2）知ED⊥平面ABCD，且AD⊥CD。

以D为原点，DA, DC, DE所在直线为x,y,z轴，建立空间直角坐标系。

B(2,2,0), C(0,4,0), E(0,0,2)，平面ADEF的一个法向量为m=(0,1,0).

设n=(x,y,z)为平面BEC的一个法向量，因为

所以n=(1,1,2)为平面BEC的一个法向量

设平面BEC与平面ADEF所成锐二面角为

则

所以平面BEC与平面ADEF所成锐二面角为余弦值为