Question

如图，在四棱锥中，，，，平面底面，.和分别是和的中点，求证：

（Ⅰ）底面；
（Ⅱ）平面；
（Ⅲ）平面平面.

Answer 1

把平面与平面垂直转化为直线和平面垂直是常见的转化.要证直线和平面垂直，依据相关判定定理转化为证明直线和直线垂直.要证直线和平面平行，可以利用直线和平面平行的判定定理完成。证明平面与平面垂直，需要在一个平面内找到一条和另一个平面垂直的直线，依据平面与平面垂直的判定定理。

（Ⅰ）因为平面底面，且垂直于这两个平面的交线，
所以底面.
（Ⅱ）因为，，是的中点，
所以，且.
所以为平行四边形.
所以，.
又因为平面，平面，
所以平面.
（Ⅲ）因为，并且为平行四边形，
所以,.
由（Ⅰ）知底面，
所以，
所以平面.
所以.
因为和分别是和的中点，
所以.
所以.
所以平面.
所以平面平面.
【考点定位】本题考查了直线和平面平行、垂直的判定定理，平面与平面垂直的判定定理和性质定理，考查推理论证能力.