Question

光在某处的照度与光源的强度成正比，与光源距离的平方成反比．强度分别为8，1的两个光源A，B间的距离为6，在线段AB（除去端点）上有一点P，设PA=x．
（1）求x的值，使光源A与光源B在点P产生相等的照度；
（2）若“总照度”等于各照度之和．
①求出点P的“总照度”I（x）的表达式；
②求最小“总照度”与相应的x值．

Answer 1

分析：（1）先根据题意先表示出点P受光源A的照度和受光源B的照度再根据光源A与光源B在点P产生相等的照度建立方程，解之即可求出所求；
（2）①点P的“总照度”I（x）的表达式根据若“总照度”等于各照度之和建立即可；
②利用导数先研究函数的极值，然后根据函数的单调性求出函数的最小值即可．

解答：解：（1）由题意知，点P受光源A的照度为

8k

x2

，受光源B的照度为

k

(6-x)2

，其中k为比例常数；
∵光源A与光源B在点P产生相等的照度，
∴

8k

x2

=

k

(6-x)2

，
由0＜x＜6，得x=2

2

（6-x），
∴x=

48-12 2

7

；
（2）①点P的“总照度”I（x）=

8k

x2

+

k

(6-x)2

（0＜x＜6），
②由I′（x）=-

16k

x3

+

2k

(6-x)3

，且I'（x）=0，解得x=4．
所以，0＜x＜4时，I'（x）＜0，I（x）在（0，4）上单调递减；
当4＜x＜6时，I（x）＜0，I（x）在（4，6）上单调递增；
因此，=4时，I（x）取得最小值为

3k

4

．

点评：本题主要考查了函数模型的选择与应用，同时考查了函数的最值的求解，导数法求函数最值是常用的方法，属于中档题．