题目内容
（2013•杭州模拟）把椭圆C的短轴和焦点连线段中较长者、较短者分别作为椭圆C′的长轴、短轴，使椭圆C变换成椭圆C′，称之为椭圆的一次“压缩”．按上述定义把椭圆Ci（i=0，1，2，…）“压缩”成椭圆Ci+1，得到一系列椭圆C1，C2，C3，…，当短轴长与截距相等时终止“压缩”．经研究发现，某个椭圆C0经过n（n≥3）次“压缩”后能终止，则椭圆Cn-2的离心率可能是：①
，②
，③
，④
中的
| ||
| 2 |
| ||
| 5 |
| ||
| 3 |
| ||
| 3 |
①②
①②
（填写所有正确结论的序号）分析：分类讨论，确定压缩数为n-2时，半长轴、半短轴、半焦距，利用离心率公式，即可求得结论．
解答：解：依题意，
若原椭圆，短轴＞焦距，则压缩数为n时，半长轴为a，半短轴为c，半焦距为c
所以压缩数为n-1时，半长轴为
，半短轴为a，半焦距为c；
压缩数为n-2时，半长轴为
，半短轴为
，半焦距为a
∵压缩数为n时，a2=c2+c2=2c2
∴Cn-2的离心率=
=
同理，若原椭圆，短轴＜焦距，则压缩数为n时，半长轴为a，半短轴为c，半焦距为c
所以压缩数为n-1时，半长轴为
，半短轴为c，半焦距为a；
压缩数为n-2时，半长轴为
，半短轴为c，半焦距为
，
∵压缩数为n时，a2=c2+c2=2c2
∴Cn-2的离心率=
=
故答案为：①②
若原椭圆，短轴＞焦距，则压缩数为n时，半长轴为a，半短轴为c，半焦距为c
所以压缩数为n-1时，半长轴为
| a2+c2 |
压缩数为n-2时，半长轴为
| 2a2+c2 |
| a2+c2 |
∵压缩数为n时，a2=c2+c2=2c2
∴Cn-2的离心率=
| a | ||
|
| ||
| 5 |
同理，若原椭圆，短轴＜焦距，则压缩数为n时，半长轴为a，半短轴为c，半焦距为c
所以压缩数为n-1时，半长轴为
| a2+c2 |
压缩数为n-2时，半长轴为
| 2a2+c2 |
| a2+c2 |
∵压缩数为n时，a2=c2+c2=2c2
∴Cn-2的离心率=
| ||
|
| ||
| 2 |
故答案为：①②
点评：本题考查新定义，考查学生的计算能力，考查分类讨论的数学思想，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．
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