题目内容

已知点P(5，0)和圆O：x2＋y2＝16．过点P作直线l与圆O交于A，B两点，求弦AB的中点M的轨迹方程．

答案：
解析：

　　解：如图，因为点M是弦AB的中点，所以∠OMP＝90°，

　　所以点M在以OP为直径的圆上．

　　此圆的圆心为，半径长为，

　　所以其方程为＋y2＝，即x2＋y2－5x＝0．

　　又因为点M在圆x2＋y2＝16的内部，

　　所以x2＋y2＜16，即0≤x＝＜．

　　所以点M的轨迹方程为x2＋y2－5x＝0．

　　点评：解决本题若不能利用条件∠OMP＝90°发现点M是在以线段OP为直径的圆周上，而利用参数方程等其他方法求解，计算量将很大，并且过程比较麻烦．


练习册系列答案
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精英家教网与向量、圆交汇．例5：已知F1、F2分别为椭圆C1：
y2
a2
+
x2
b2
=1(a＞b＞0)的上、下焦点，其中F1也是抛物线C2：x2=4y的焦点，点M是C1与C2在第二象限的交点，且|MF1|=
5
3
．
（1）求椭圆C1的方程；
（2）已知点P（1，3）和圆O：x2+y2=b2，过点P的动直线l与圆O相交于不同的两点A，B，在线段AB上取一点Q，满足：
AP
=-λ
PB
，
AQ
=λ
QB
，（λ≠0且λ≠±1）．问点Q是否总在某一定直线上？若在，求出这条直线，否则，说明理由．
（2008•奉贤区二模）给出下列3个命题：
①在平面内，若动点M到F1（-1，0）、F2（1，0）两点的距离之和等于2，则动点M的轨迹是以F1，F2为焦点的椭圆；
②在平面内，已知F1（-5，0），F2（5，0），若动点M满足条件：|MF1|-|MF2|=8，则动点M的轨迹方程是
x2
16
-
y2
9
=1；
③在平面内，若动点M到点P（1，0）和到直线x-y-2=0的距离相等，则动点M的轨迹是抛物线．
上述三个命题中，正确的有（　　）

已知点P(5，0)和圆O：＝16．

(1)自P作圆O的切线，求切线的长及切线的方程；

(2)过P任意作直线l与圆O交于A，B两点，求弦AB的中点M的轨迹．
与向量、圆交汇．例5：已知F1、F2分别为椭圆C1：的上、下焦点，其中F1也是抛物线C2：x2=4y的焦点，点M是C1与C2在第二象限的交点，且．
（1）求椭圆C1的方程；
（2）已知点P（1，3）和圆O：x2+y2=b2，过点P的动直线l与圆O相交于不同的两点A，B，在线段AB上取一点Q，满足：，，（λ≠0且λ≠±1）．问点Q是否总在某一定直线上？若在，求出这条直线，否则，说明理由．

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