Question

定义一种运算

a b c d

=ad-bc，若函数f(x)=

acosx bsinx cosx 2cosx

且f(0)=2，f(

π

3

)=

1

2

-

3

2

．
（1）求f（x）的最小正周期；
（2）求f（x）的单调递增区间；
（3）求使f（x）＞2的x的集合．

Answer 1

分析：（1）利用定义求f（x）的表达式，化简为一个角的一个三角函数的形式，然后最小正周期；
（2）根据余弦函数的单调性，直接求f（x）的单调递增区间；
（3）结合函数的图象或单位圆，直接求使f（x）＞2的x的集合．

解答：解：（1）由题意，得f（x）=2acos²x-bsinxcosx，
∵f（0）=2，
∴2a=2，
∴a=1
∴f（x）=2cos²x-bsinxcosx
又∵f(

π

3

)=

1

2

-

3

2

，
∴2×(

1

2

)2-b×

3

2

×

1

2

=

1

2

-

3

2

，
∴b=2
∴f(x)=2cos2x-2sinxcosx=1+cos2x-sin2x=1+

2

cos(2x+

π

4

)
∴f（x）的最小正周期为π
（2）由（1）得f(x)=1+

2

cos(2x+

π

4

)，
由2kπ-π≤2x+

π

4

≤2kπ，k∈Z得kπ-

5π

8

≤x≤kπ-

π

8

，k∈Z，从而得f（x）的单调增区间为：[kπ-

5π

8

，kπ-

π

8

](k∈Z)
（3）要使f（x）＞2，则cos(2x+

π

4

)＞

2

2

，
于是得2kπ-

π

4

＜2x+

π

4

＜2kπ+

π

4

，k∈Z，
∴kπ-

π

4

＜x＜kπ，k∈Z，
故所求的x的集合是(kπ-

π

4

，kπ)，k∈Z

点评：本题考查三角函数的周期性及其求法，余弦函数的单调性，考查分析问题解决问题的能力，是中档题．