Question

（江西卷理）（本小题满分12分）

已知点为双曲线（为正常数）上任一点,为双曲线的右焦点,过作右准线的垂线,垂足为,连接并延长交轴于.            

(1)    求线段的中点的轨迹的方程;

(2)    设轨迹与轴交于两点,在上任取一点,直线分别交轴于两点.求证:以为直径的圆过两定点.

Answer 1

的轨迹的方程为.，

解析:

(1) 解  由已知得,则直线的方程为:,

   令得,即,

设,则,即代入得:,

即的轨迹的方程为.            

(2) 证明  在中令得,则不妨设,

于是直线的方程为:,

直线的方程为:,

则,

则以为直径的圆的方程为: ,

令得:,而在上,则,

于是,即以为直径的圆过两定点.