Question

17．已知函数f（x）=$\sqrt{3}sin$（ωx+φ）-cos（ωx+φ）为偶函数，且函数f（x）图象的两相邻对称轴间的距离为$\frac{π}{2}$．
（1）求f（$\frac{π}{8}$）的值．
（2）求函数y=f（x）+f（x+$\frac{π}{4}$）的最大值及对应的x的值．

Answer 1

分析 （1）化简可得f（x）=-2cos（ωx+φ+$\frac{π}{3}$），由偶函数可得φ=-$\frac{π}{3}$，再由对称性可得函数的周期为π，可得ω=2，可得解析式，代值计算可得；
（2）由（1）可得y=2$\sqrt{2}$sin（2x-$\frac{π}{4}$），可得三角函数的最值．

解答 解：（1）化简可得f（x）=$\sqrt{3}sin$（ωx+φ）-cos（ωx+φ）
=2[$\frac{\sqrt{3}}{2}$sin（ωx+φ）-$\frac{1}{2}$cos（ωx+φ）]
=-2cos（ωx+φ+$\frac{π}{3}$），
由偶函数可得φ+$\frac{π}{3}$=kπ，可取k=0，则φ=-$\frac{π}{3}$，
又函数f（x）图象的两相邻对称轴间的距离为$\frac{π}{2}$，
∴函数的周期为π，∴ω=2，
∴f（x）=-2cos2x，
∴f（$\frac{π}{8}$）=-2cos$\frac{π}{4}$=-$\sqrt{2}$；
（2）由（1）可得y=f（x）+f（x+$\frac{π}{4}$）
=-2cos2x-2cos（2x+$\frac{π}{2}$）
=2sin2x-2cos2x
=2$\sqrt{2}$sin（2x-$\frac{π}{4}$）
当2x-$\frac{π}{4}$=2kπ+$\frac{π}{2}$即x=kπ+$\frac{3π}{8}$，k∈Z时，
函数y取最大值2$\sqrt{2}$．

点评 本题考查三角函数的图象和性质，涉及三角函数的最值和奇偶性，属中档题．