题目内容

已知函数 $数学公式$ ．
（Ⅰ）求函数f（x）的最小正周期和值域；
（Ⅱ）若 $数学公式$ ，求sin2α的值．

解：（Ⅰ）由已知，f（x）= $\text{[math]}$ -sin $\text{[math]}$ cos $\text{[math]}$ - $\text{[math]}$
= $\text{[math]}$ （1+cosx）- $\text{[math]}$ sinx- $\text{[math]}$
= $\text{[math]}$ cos（x+ $\text{[math]}$ ）．
∴函数f（x）的最小正周期为2π，值域为[- $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ]；…6分
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，f（α）= $\text{[math]}$ cos（α+ $\text{[math]}$ ）= $\text{[math]}$ ，
∴cos（α+ $\text{[math]}$ ）= $\text{[math]}$ ，
∴sin2α=-cos（2x+2α）=-cos2（α+ $\text{[math]}$ ）
=1-2 $\text{[math]}$
=1- $\text{[math]}$
= $\text{[math]}$ …12分
分析：（Ⅰ）将 $\text{[math]}$ 化为f（x）= $\text{[math]}$ cos（x+ $\text{[math]}$ ）即可求得f（x）的最小正周期和值域；
（Ⅱ）由 $\text{[math]}$ 可求得cos（α+ $\text{[math]}$ ）= $\text{[math]}$ ，由余弦函数的二倍角公式与诱导公式可求得sin2α的值．
点评：本题考查三角函数的性质、两角和的正（余）弦公式等基础知识，考查运算能力，考查化归与转化等数学思想，属于中档题．