Question

已知圆，
（Ⅰ）若过定点()的直线与圆相切，求直线的方程；
（Ⅱ）若过定点()且倾斜角为的直线与圆相交于两点，求线段的中点的坐标；
(Ⅲ) 问是否存在斜率为的直线，使被圆截得的弦为,且以为直径的圆经过原点？若存在，请写出求直线的方程；若不存在，请说明理由。

Answer 1

（Ⅰ），（Ⅱ）（Ⅲ）

解析试题分析：（Ⅰ）求过定点直线方程，要注意斜率不存在情况是否满足题意，本题可分类讨论，也可从设法上考虑斜率不存在，即设直线的方程为：，再利用圆心到直线距离等于半径即可求出直线方程，（Ⅱ）求圆中弦中点，一可利用几何条件，即圆心与弦中点连线与直线垂直，从而弦中点就为直线：与连线的交点，二可利用韦达定理，根据中点坐标公式求解，（Ⅲ）以为直径的圆经过原点，这一条件如何用，是解题的关键 一是利用向量垂直，二是利用圆系方程
试题解析：（Ⅰ）根据题意，设直线的方程为：
联立直线与圆的方程并整理得：     2分
所以
从而，直线的方程为：                 4分
（Ⅱ）根据题意，设直线的方程为：
代入圆方程得：，显然，           6分
设则
所以点的坐标为                  8分
（Ⅲ）假设存在这样的直线：
联立圆的方程并整理得：
当                    9分
设则
所以                           10分
因为以为直径的圆经过原点，所以
均满足。
所以直线的方程为：。                  13分
（Ⅲ）法二：可以设圆系方程
则圆心坐标，圆心在直线上，且该圆过原点。易得b的值。
考点：直线与圆相切，弦中点，圆方程