Question

已知函数f(x)=

cosx

a+sinx

 （a为实数）
（Ⅰ） 当a=2时，求函数f（x）的单调递增区间；
（Ⅱ） 若当x∈(-

π

2

，

π

2

)时，都有f(x)＜

π

6

-

x

3

成立，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析：（Ⅰ）当a=2时，求导函数，令其大于0，即可得到函数的单调递增区间；
（Ⅱ）先确定a≤-1或a＞

6

π

，再分类讨论，确定函数的单调性，确定函数值的正负，即可得到结论．

解答：解：（Ⅰ）当a=2时，令f′(x)=

-1-2sinx

(2+sinx)2

＞0得-

5π

6

+2kπ＜x＜-

π

6

+2kπ(k∈Z)
∴f（x）的增区间为(-

5π

6

+2kπ，-

π

6

+2kπ)(k∈Z) …（4分）
（Ⅱ）令g（x）=

π

6

-

x

3

，设若使f（x）有意义，则a≤-1或a≥1
∵f(0)=

1

a

＜g（0）=

π

6

，
∴a≤-1或a＞

6

π

      …（6分）
1°当a≤-1时，f′(x)=

-asinx-1

(a+sinx)2

，
若a=-1，则f'（x）≤0恒成立，f(x)＜f(-

π

2

)=0，而g（x）＞0，故f（x）＜g（x）成立
若a＜-1，令f′(x)=0⇒sinx=-

1

a

，-1＜sinx＜-

1

a

，f'（x）＜0，f（x）递减；
-

1

a

＜sinx＜1，f'（x）＞0，f（x）递增，
又f(-

π

2

)=f(

π

2

)=0，f（x）＜0，而g（x）＞0，
故f（x）＜g（x）成立       …（8分）
2°a＞

6

π

时，令F（x）=f（x）-g（x），则F′(x)=

(sinx- a 2 )2+ 3a2 4 -3

3(a+sinx)2

若a≥2，则F'（x）＞0，而F(

π

2

)=0，
∴f（x）＜0＜g（x），此时成立            …（10分）
若

6

π

＜a＜2，设sinx=t，t∈（-1，1），令G(t)=(t-

a

2

)2+

3a2

4

-3，则G(t)=0⇒t=

a

2

±

3- 3a2 4

，
由

6

π

＜a＜2知3-

3a2

4

＞1-a+

a2

4

，即

3- 3a2 4

＞1-

a

2

，
∴

a

2

+

3- 3a2 4

＞1，
又

a

2

-

3- 3a2 4

∈(0，1)，
∴t∈(0，

a

2

-

3- 3a2 4

)，G（t）＞0，t∈(

a

2

-

3- 3a2 4

，1)，G（t）＜0
∴F（x）先增后减，而F(

π

2

)=0，必存在x₀使F（x₀）＞0，不成立
综上，a∈（-∞，-1]∪[2，+∞）     …（12分）

点评：本题考查导数知识的运用，考查函数的单调性，考查分类讨论的数学思想，考查恒成立问题，正确分类是关键．