Question

在平面直角坐标系xOy中，设A、B是双曲线x2-

y2

2

=1上的两点，M（1，2）是线段AB的中点，线段AB的垂直平分线与双曲线相交于C、D两点．
（1）求直线AB与CD的方程；
（2）判断A、B、C、D四点是否共圆？若共圆，请求出圆的方程；若不共圆，请说明理由．

Answer 1

分析：（1）设A（x₁，y₁），则B（2-x₁，4-y₁），代入双曲线方程，即可求出A、B的坐标，从而可得AB、CD的方程；
（2）A、B、C、D四点共圆，证明由三点A、B、C可先确定一个圆，再检验证D满足方程即可．

解答：解：（1）设A（x₁，y₁），则B（2-x₁，4-y₁），代入双曲线x2-

y2

2

=1得

x12- y12 2 =1，   (2-x1)2- (4-y1)2 2 =1，

解得

x1=-1，  y1=0

或

x1=3，  y1=4，

即A、B的坐标为（-1，0）、（3，4），所以AB的方程为

y-0

4-0

=

x+1

3+1

，即y=x+1，
∵A，B的中点为（1，2），
∴CD的方程为：y-2=-（x-1），即y=-x+3；
（2）A、B、C、D四点共圆，下证之：
证明：由y=-x+3与x2-

y2

2

=1联立方程组可得C、D的坐标为(-3-2

5

，  6+2

5

)、(-3+2

5

，  6-2

5

)，
由三点A、B、C可先确定一个圆，设圆心坐标为O′（a，-a+3），由|O′A|=|O′B|=|O′C|，可得（a+1）²+（-a+3）²=（a-3）²+（-a-1）²=(a+3+2

5

)2+(-a-3-2

5

)2，∴a=-3，∴圆心坐标为（-3，6），半径为2

10

∴圆的方程为（x+3）²+（y-6）²=40①，
检验D(-3+2

5

，  6-2

5

)适合①式，所以A、B、C、D四点共圆．
（注：本题亦可以利用圆的几何性质判断四点共圆）

点评：本题主要考查求双曲线、直线、圆等基础知识，考查运算求解与探究能力．