Question

已知a，b，c∈N^*，方程ax²+bx+c=0在区间（-1，0）上有两个不同的实根，求a+b+c的最小值．

Answer 1

分析：由题意可得，可得函数f（x）=ax²+bx+c在区间（-1，0）上与x轴有两个不同的交点，可得f（-1）=a+c-b＞0，且f（0）=c＞0，且△=b²-4ac＞0，且x1+x2=-

b

a

∈（-2，0），且x₁•x₂=

c

a

∈（0，1），可得c的最小值为1，且

a+1＞b a＞c=1 b2＞4a

．
由此求得正整数a、b的最小值，可得a+b+c的最小值．

解答：解：设x₁ 和x₂方程ax²+bx+c=0有两个相异根，由a，b，c∈N^*，
两个根都在区间（-1，0）上，
可得函数f（x）=ax²+bx+c在区间（-1，0）上与x轴有两个不同的交点，
故有f（-1）=a+c-b＞0，且f（0）=c＞0，且△=b²-4ac＞0，
且 x1+x2=-

b

a

∈（-2，0），且x₁•x₂=

c

a

∈（0，1）．
故c的最小值为1，故有

a+1＞b a＞c=1 b2＞4a

．
当a=2时，正整数b不存在；当a=3时，正整数b不存在；
当a=4时，正整数b不存在；当a=5时，存在正整数b=5．
综上可得，c的最小值为1，a的最小值为5，b的最小值为5，
故a+b+c的最小值为1+5+5=11．

点评：本题主要考查函数的零点与方程的根的关系，抛物线与x轴的交点问题及根的判别式，得到关于a、b、c的关系式是解答此题的关键，属于中档题．