Question

对于任意的x∈R，不等式sin²x+msinx+

m2-3

m

≤0恒成立，则m的取值范围是（　　）

• A．m≤-

  3

  2

• B．0＜m≤1
• C．0＜m≤3
• D．m≤-

  3

  2

  或0＜m≤3

Answer 1

分析：sin²x+msinx+

m2-3

m

≤0恒成立?(sinx+

m

2

)2≤

m2

4

-m+

3

m

恒成立，构造函数g（x）=(sinx+

m

2

)2，通过对m分类讨论，

m2

4

-m+

3

m

≥g（x）_max即可求得答案．

解答：解：∵sin²x+msinx+

m2-3

m

≤0恒成立?(sinx+

m

2

)2≤

m2

4

-m+

3

m

恒成立，
令g（x）=(sinx+

m

2

)2，
则

m2

4

-m+

3

m

≥g（x）_max；
当m＞0时，g（x）_max=(1+

m

2

)2=1+m+

m2

4

，
∴

m2

4

-m+

3

m

≥1+m+

m2

4

，
∴2m-

3

m

+1≤0?2m²+m-3≤0，
解得：-

3

2

≤m≤1，又m＞0，
∴0＜m≤1；
当m＜0时，g（x）_max=(-1+

m

2

)2=1-m+

m2

4

，
∴

m2

4

-m+

3

m

≥1-m+

m2

4

，
∴

3

m

≥1，这不可能．
综上所述，0＜m≤1．
故选B．

点评：本题考查函数恒成立问题，考查正弦函数的性质，突出考查构造函数思想与转化思想的综合运用，属于难题．