Question

若O,A,B三点不共线,证明P,A,B三点共线的充要条件是存在实数λ,μ,使得,且λ+μ=1,λ,μ∈R.

Answer 1

思路分析：由于P,A,B三点中任意两点都可以构造一个向量,则可利用两个向量共线的充要条件再作适当的变形就可以证得结论.

证明：必要性.

若P,A,B三点共线,则与共线.

则有(t∈R),即.

所以.

令λ=1-t,μ=t,则λ+μ=1.

所以存在实数λ,μ,使得,且λ+μ=1,λ,μ∈R.

充分性.

若存在实数λ,μ,使得,且λ+μ=1,λ,μ∈R,

则有,

即.∴.

所以与共线.

又与有相同的起点,所以P,A,B三点共线.

方法归纳 所谓要证命题的必要性成立,就是由命题的结论成立,推证命题的题设(条件)成立;所谓要证命题的充分性成立,就是由命题的条件成立,推证结论成立.

深化升华 证明充分性与必要性的关键是分清题设(条件)与结论,可将它们与命题联系起来,即若原命题成立,则题设是结论成立的充分条件;若逆命题成立,则题设是结论成立的必要条件.