Question

已知函数f(x)=

1

3

x3-ax2+4x．
（I）若曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线的倾斜角为

π

4

，求实数a的值；
（II）若函数y=f（x）在区间[0，2]上单调递增，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析：（I）根据切线的倾斜角为

π

4

得到切线的斜率，根据导数的几何意义可知x=1处的导数即为切线的斜率，建立等量关系，求出a即可；
（II）根据函数y=f（x）在区间[0，2]上单调递增，可转化成x²-2ax+4≥0对一切x∈[0，2]恒成立，将参数a分离，转化成当x∈（0，2]时，等价于不等式a≤

x2+4

2x

恒成立，利用均值不等式求出不等式右边函数的最小值，即可求出a的范围．

解答：解：（Ⅰ）∵f(x)=

1

3

x3-ax2+4x
∴f'（x）=x²-2ax+4（2分）
∵f′(1)=12-2a+4=tan

π

4

（4分）
∴a=2（6分）
（Ⅱ）∵函数y=f（x）在区间[0，2]上单调递增
∴x²-2ax+4≥0对一切x∈[0，2]恒成立
x=0时成立
当x∈（0，2]时，等价于不等式a≤

x2+4

2x

恒成立
令g(x)=

x2+4

2x

=

1

2

(x+

4

x

)≥

1

2

×2

x• 4 x

=2
当x=

4

x

?x=2时取到等号，所以g（x）_min=2
∴a≤2（12分）

点评：本题主要考查了利用导数研究曲线上某点切线方程，以及函数恒成立问题等基础题知识，考查运算求解能力、推理论证能力，分类讨论思想、化归与转化思想，属于基础题．