Question

【题目】已知数列是各项都不为0的无穷数列，对任意的n≥3，n， 恒成立．

（1）如果，，成等差数列，求实数的值；

（2）已知＝1．①求证：数列是等差数列；②已知数列中，．数列是公比为q的等比数列，满足，，(i)．求证：q是整数，且数列中的任意一项都是数列中的项．

Answer 1

【答案】（1）

（2）①见解析②见解析

【解析】

（1）令，可得，两边同除以，可得：，结合，，成等差数列可得：，问题得解。

（2）①在 中，用代可得： ，两式作差可得：，整理得：，再利用数学归纳法证明，假设时， 成等差数列，且公差为，则当时，成立，问题得证。

②数列是等差数列，公差为，即可求得：，即可求得，所以是整数，由，，成等比数列即可求得：，令，整理得：，又，利用二项式定理展开得：，即可求得：，问题得解。

（1）由题可得：当时，

两边同除以，可得：

因为，，成等差数列，所以

所以，解得：

（2）①由题可得：当时， …（Ⅰ）

用代上式中的，可得：

…（Ⅱ）

（Ⅱ）（Ⅰ）得：

上式两边同除以可得：

整理得：

整理得：

（ⅰ）由（1）得，当时，，，成等差数列，结论正确.

（ⅱ）假设时，结论正确。即：成等差数列，且公差为

下证时， 成等差数列.

即证

又

.

所以成立.

由（ⅰ）（ⅱ）可得：对任意的，数列是等差数列.

②由①得：数列是等差数列，公差为

所以，（）

又，，成等比数列，

所以，即：

整理得：

所以，所以是整数

数列中的任意一项

令，则

整理得：，整理得：

又

所以

解得：

即：存在，使得：成立

所以数列中的任意一项都是数列中的项．