Question

若函数f（x）满足?m∈R，m≠0，对定义域内的任意x，f（x+m）=f（x）+f（m）恒成立，则称f（x）为m函数，现给出下列函数：
①y=

1

x

； ②y=2x；③y=sinx；④y=1nx
其中为m函数的序号是

②③

．（把你认为所有正确的序号都填上）

Answer 1

分析：根据m函数定义逐项判断即可．

解答：解：①若f(x)=

1

x

，则由f（x+m）=f（x）+f（m）得

1

x+m

=

1

x

+

1

m

，即

1

m

=

1

x+m

-

1

x

=

-m

x(x+m)

，
所以不存在常数m使f（x+m）=f（x）+f（m）成立，所以①不是m函数．
②若f（x）=2x，由f（x+m）=f（x）+f（m）得，2（x+m）=2x+2m，此时恒成立，所以②y=2x是m函数．
③若f（x）=sinx，由f（x+m）=f（x）+f（m）得sin（x+m）=sinx+sinm，所以当m=π时，f（x+m）=f（x）+f（m）成立，所以③y=sinx是m函数．
④若f（x）=1nx，则由f（x+m）=f（x）+f（m）得ln（x+m）=lnx+lnm，即ln（x+m）=lnmx，所以x+m=mx，要使x+m=mx成立则有

m=1 m=0

，所以方程无解，所以④y=1nx不是m函数．所以为m函数的序号是②③．
故答案为：②③

点评：本题考查函数恒成立问题，考查学生利用所学知识分析解决新问题的能力，属中档题．