Question

已知函数f(x)=-2a2lnx+

1

2

x2+ax（a∈R）．
（Ⅰ） 讨论函数f（x）的单调性；
（Ⅱ）当a＜0时，求函数f（x）在区间[1，e]的最小值．

Answer 1

函数f（x）的定义域为（0，+∞），…（1分）
（Ⅰ）f′(x)=

x2+ax-2a2

x

=

(x+2a)(x-a)

x

，…（4分）
（1）当a=0时，f'（x）=x＞0，所以f（x）在定义域为（0，+∞）上单调递增； …（5分）



（2）当a＞0时，令f'（x）=0，得x₁=-2a（舍去），x₂=a，
当x变化时，f'（x），f（x）的变化情况如下：
此时，f（x）在区间（0，a）单调递减，
在区间（a，+∞）上单调递增；          …（7分）



（3）当a＜0时，令f'（x）=0，得x₁=-2a，x₂=a（舍去），
当x变化时，f'（x），f（x）的变化情况如下：
此时，f（x）在区间（0，-2a）单调递减，
在区间（-2a，+∞）上单调递增．…（9分）
（Ⅱ）由（Ⅰ）知当a＜0时，f（x）在区间（0，-2a）单调递减，在区间（-2a，+∞）上单调递增．…（10分）
（1）当-2a≥e，即a≤-

e

2

时，f（x）在区间[1，e]单调递减，
所以，[f(x)]min=f(e)=-2a2+ea+

1

2

e2；                     …（11分）
（2）当1＜-2a＜e，即-

e

2

＜a＜-

1

2

时，f（x）在区间（1，-2a）单调递减，
在区间（-2a，e）单调递增，所以[f(x)]min=f(-2a)=-2a2ln(-2a)，…（12分）
（3）当-2a≤1，即-

1

2

≤a＜0时，f（x）在区间[1，e]单调递增，
所以[f(x)]min=f(1)=a+

1

2

．…（13分）