Question

已知函数f(x)=[2sin(x+

π

3

)+sinx]cosx-

3

sin2x．
（1）求函数f（x）的最小值以及对应的x值．
（2）若函数f（x）关于点（a，0）（a＞0）对称，求a的最小值．
（3）做出函数y=f（x）在[0，π]上的图象．

Answer 1

分析：（1）利用两角和的正弦公式及半角公式的变形，化简函数f（x）的解析式，化成关于某个角的正弦．
利用正弦取的最小值的条件求出f（x）的最小值以及对应的x值．
（2）由 2a+

π

3

=kπ，求出  a=

1

2

kπ-

π

6

，故a的最小值

π

3

．
（3）利用函数的周期等于π，据五点法作图的步骤，从区间的前端点开始，每隔

π

4

个单位取一个点，
得到图象上的五个关键点，然后用平滑的曲线连接．

解答：解：f(x)=[2sin(x+

π

3

)+sinx]cosx-

3

sin2x=（sinx+

3

cosx+sinx）cosx-

3

sin2x 
=sin2x+

3

cos2x=2sin(2x+

π

3

)
（1）当且仅当2x+

π

3

=2kπ-

π

2

，即x=kπ-

5π

12

(k∈Z)时，f（x）有最小值-2
（2）由已知函数f（x）关于点（a，0）（a＞0）对称，
可得 2a+

π

3

=kπ，k∈z，所以a=

1

2

kπ-

π

6

，k∈z．
因为a＞0，所以k=1时，a有最小值

π

3

．
（3）∵0≤x≤π，∴

π

3

≤2x+

π

3

≤

7π

3

，
列表：

作图

点评：本题考查两角和差的三角公式的应用，正弦函数的最值及对称中心以及五点法作图的方法．