Question

已知f(x)=loga(x+

x2+1

)，其中a＞1．则f（x）的反函数f^-1（x）=

 

．

Answer 1

分析：利用f（-x）+f（x）=0可证f（x）=loga(x+

x2+1

)为奇函数，从而可求f（x）的反函数f^-1（x）．

解答：解：∵f（x）=loga(x+

x2+1

)，
∴f（-x）=loga(

x2+1

-x)，
∴f（-x）+f（x）=log_a1=0，
∴y=f（x）=loga(x+

x2+1

)为奇函数，
∴x+

x2+1

=a^y，
-x+

(-x)2+1

=a^-y，
∴x=

1

2

（a^y-a^-y），
∴f^-1（x）=

1

2

（a^x-a^-x），x∈R．
故答案为：

1

2

（a^x-a^-x），x∈R．

点评：本题考查反函数，考查函数的奇偶性的应用，求得x=

1

2

（a^y-a^-y）是关键，也是难点，属于中档题．