Question

已知三棱锥的三视图如图所示．

（Ⅰ）求证：是直角三角形；
 求三棱锥是全面积；
（Ⅲ）当点在线段上何处时，与平面所成的角为．

Answer 1

1）根据视图中所给的数据特证可以证明BC⊥面PAB，由线面垂直的性质证出BC⊥PB，由此证得三角形为直角三角形，（2）
（3）当为线段的中点时，与平面所成的角为

试题分析：解析：（Ⅰ）由三视图可得：
由俯视图知

，
故是以为直角顶点的直角三角形． 4分
（Ⅱ） 且
，，且
由（Ⅰ）知是直角三角形，故其面积为
故三棱锥的全面积为  8分
（Ⅲ）在面内过做的垂线,
以为原点， 所在直线分别为轴、轴 、轴建立空间直角坐标系，如图所示
则
设为面的一个法向量,
则取
设，，


，故当为线段的中点时，与平面所成的角为……13分
点评：本题考点是由三视图求几何体的面积、体积，考查对三视图的理解与应用，主要考查三视图与实物图之间的关系，用三视图中的数据还原出实物图的数据，再根据相关的公式求表面积与体积，本题求的是四棱锥的体积，其公式为 ×底面积×高．三视图的投影规则是：“主视、俯视 长对正；主视、左视高平齐，左视、俯视 宽相等”，三视图是新课标的新增内容，在以后的高考中有加强的可能．用向量法求线面角是空间向量的一个重要运用，其步骤是：一、建立坐标系，表示出相应量的坐标，二、求出直线的方向向量以及面的法向量，三、利用公式表示线面角或者面面角的三角函数值求角．用向量解决几何问题是新课标的新增内容，这几年高考中此工具是一个常考常新的类型．