题目内容

设a1,a2, …,an都是正数，b1,b2, …,bn是a1,a2, …,an的任一排列，求证：a12b1-1+a22b2-1+…+an2bn-1≥a1+a2+…+an.

思路分析：设定a1,a2,…，an的大小，找到两个数组，利用排序原理可证得.

证明：设a1≥a2≥…≥an＞0,

可知a12≥a22≥…≥an2,an-1≥an-1-1≥…≥a1-1.

由排序原理，得

a12b1-1+a22b2-1+…+an2bn-1≥a12a1-1+a22a2-1+an2an-1

即a12b1-1+a22b2-1+…+an2bn-1≥a1+a2+…+an.

练习册系列答案
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5、设a1≤a2≤…≤an，b1≤b2≤…≤bn为两组实数，S1=a1bn+a2bn-1+…+anb1，S2=a1b1+a2b2+…+anbn，则下面正确的是（　　）
已知A1（x1，y1），A2（x2，y2），…，An（xn，yn）是直线l：y=kx+b上的n个不同的点（n∈N*，k、b均为非零常数），其中数列{xn}为等差数列．
（1）求证：数列{yn}是等差数列；
（2）若点P是直线l上一点，且
OP
=a1
OA1
+a2
OA2
，求证：a1+a2=1；
（3）设a1+a2+…+an=1，且当i+j=n+1时，恒有ai=aj（i和j都是不大于n的正整数，且i≠j）．试探索：在直线l上是否存在这样的点P，使得
OP
=a1
OA1
+a2
OA2
+…+an
OAn
成立？请说明你的理由．
（2011•绵阳一模）等比数列{an}的各项均为正数，且a1+6a2=1，a22=9a1•a5，．
（I ）求数列{an}的通项公式；
（Ⅱ）设a1•a2•a3…an=3
1bn
，求数列{bn}的前n项和．
已知实数组成的数组（x1，x2，x3，…，xn）满足条件：①
n
i=1
xi=0；     ②
n
i=1
|xi|=1．
（1）当n=2时，求x1，x2的值；
（2）当n=3时，求证：|3x1+2x2+x3|≤1；
（3）设a1≥a2≥a3≥…≥an，且a1＞an（n≥2），求证：|
n
i=1
aixi|≤
1
2
(a1-an)．
（2012•眉山二模）设a1≤a2≤…≤an，b1≤b2≤…≤bn为两组实数，c1，c2，…，cn是b1，b2，…，bn的任一排列，我们称S=a1c1+a2c2+a3c3+…+ancn为两组实数的乱序和，S1=a1bn+a2bn-1+a3bn-2+…+anb1为反序和，S2=a1b1+a2b2+a3b3+…+anbn 为顺序和．根据排序原理有：S1≤S≤S2即：反序和≤乱序和≤顺序和．给出下列命题：
①数组（2，4，6，8）和（1，3，5，7）的反序和为60；
②若A=
x
2
1
+
x
2
2
+…+
x
2
n
，B=x1x2+x2x3+…+xn-1xn+xnx1其中x1，x2，…xn都是正数，则A≤B；
③设正实数a1，a2，a3的任一排列为c1，c2，c3则
a1
c1
+
a2
c2
+
a3
c3
的最小值为3；
④已知正实数x1，x2，…，xn满足x1+x2+…+xn=P，P为定值，则F=
x
2
1
x2
+
x
2
2
x3
+…+
x
2
n-1
xn
+
x
2
n
x1
的最小值为
P
2
．
其中所有正确命题的序号为
①③
①③
．（把所有正确命题的序号都填上）

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