Question

（2012•普陀区一模）设n∈N^*，a_n表示关于x的不等式log4x-log4(5×4n-1-x)≥2n-1的正整数解的个数，则数列{a_n}的通项公式a_n=

3•4^n-1+1，n∈N^*

．

Answer 1

分析：题干错误，应该为：log4x+log4(5×4n-1-x)≥2n-1，请给修改，谢谢．
由不等式可得 x²-x•5×4^n-1+4^2n-1≤0，即 4^n-1≤x≤4ⁿ．再由 a_n表示关于x的不等式log4x-log4(5×4n-1-x)≥2n-1的正整数解的个数，可得
a_n =4ⁿ-4^n-1+1，花简求得结果．

解答：解：由不等式 log4x+log4(5×4n-1-x)≥2n-1，可得 log4(x•5×4n-1-x2)≥2n-1，故有 x•5×4^n-1-x²≥4^2n-1，
∴x²-x•5×4^n-1+4^2n-1≤0，∴4^n-1≤x≤4ⁿ．
∵a_n表示关于x的不等式log4x-log4(5×4n-1-x)≥2n-1的正整数解的个数，
∴a_n =4ⁿ-4^n-1+1=3•4^n-1+1，n∈N^*．
故答案为 3•4^n-1+1，n∈N^*．

点评：本题主要考查指数不等式、对数不等式的解法，数列的简单表示法，属于基础题．