Question

已知数列{a_n}中，a₁=1，a_n+1（2+a_n）=2a_n（n∈N^*），
（Ⅰ）求a₂，a₃，a₄的值及数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）记T_n=a₁a₂+a₂a₃+…+a_n-1a_n（n≥2），试判断T_n与2的大小，并说明理由．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由a_n+1（2+a_n）=2a_n（n∈N^*），得an+1=

2an

2+an

，代入计算可求a₂，a₃，a₄的值，确定{

1

an

}是以1为首项，

1

2

为公差的等差数列，可得数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）确定数列的通项，利用裂项法求和，可判断T_n与2的大小．

解答：解：（Ⅰ）由a_n+1（2+a_n）=2a_n（n∈N^*），得an+1=

2an

2+an

，
∵a₁=1，∴a2=

2a1

2+a1

=

2

3

，a2=

2a2

2+a2

=

2

4

，a4=

2a3

2+a3

=

2

5

．  …（3分）
又由an+1=

2an

2+an

得

1

an+1

=

1

an

+

1

2

，即

1

an+1

-

1

an

=

1

2

，
∴{

1

an

}是以1为首项，

1

2

为公差的等差数列，
∴

1

an

=1+

1

2

（n-1）=

n+1

2

，∴an=

2

n+1

．                                    …（7分）
（Ⅱ）T_n＜2． 证明如下：…（8分）
当n≥2时，a_n-1a_n=

2

n

•

2

n+1

=4（

1

n

-

1

n+1

），…（10分）
∴T_n=4[（

1

2

-

1

3

）+（

1

3

-

1

4

）+…+（

1

n

-

1

n+1

）]=4（

1

2

-

1

n+1

）=2-

4

n+1

＜2…（15分）

点评：本题考查数列递推式，考查等差数列的证明，考查裂项法求数列的和，属于中档题．