题目内容

某农科所对冬季昼夜温差大小与某反季节大豆新品种发芽多少之间的关系进行分析研究，他们分别记录了12月1日至12月5日的每天昼夜温差与实验室每天每100颗种子中的发芽数，得到如下资料：
日　　期 12月1日 12月2日 12月3日 12月4日 12月5日
温差x（°C） 10 11 13 12 8
发芽数y（颗） 23 25 30 26 16
该农科所确定的研究方案是：先从这五组数据中选取2组，用剩下的3组数据求线性回归方程，再对被选取的2组数据进行检验．
（1）求选取的2组数据恰好是不相邻2天数据的概率；
（2）若选取的是12月1日与12月5日的两组数据，请根据12月2日至12月4日的数据，求出y关于x的线性回归方程 $数学公式$ ；
（3）若由线性回归方程得到的估计数据与所选出的检验数据的误差均不超过2颗，则认为得到的线性回归方程是可靠的，试问（2）中所得的线性回归方程是否可靠？

解：（1）设抽到不相邻的两组数据为事件A，
从5组数据中选取2组数
据共有10种情况：（1，2）
（1，3）（1，4）（1，5）（2，3）（2，4）（2，5）
（3，4）（3，5）（4，5），
其中数据为12月份的日期数．
每种情况都是可能出现的，事件A包括的基本事件有6种．
∴P（A）= $\text{[math]}$ ．
∴选取的2组数据恰好是不相邻2天数据的概率是 $\text{[math]}$
（2）由数据，求得 $\text{[math]}$ ．
由公式，求得b= $\text{[math]}$ $\text{[math]}$
∴y关于x的线性回归方程为 $\text{[math]}$ x-3．
（3）当x=10时， $\text{[math]}$ ×10-3=22，|22-23|＜2；
同样当x=8时， $\text{[math]}$ ×8-3=17，|17-16|＜2；
∴该研究所得到的回归方程是可靠的．
分析：（1）根据题意列举出从5组数据中选取2组数据共有10种情况，每种情况都是可能出现的，满足条件的事件包括的基本事件有6种．根据等可能事件的概率做出结果．
（2）根据所给的数据，先做出x，y的平均数，即做出本组数据的样本中心点，根据最小二乘法求出线性回归方程的系数，写出线性回归方程．
（3）根据估计数据与所选出的检验数据的误差均不超过2颗，就认为得到的线性回归方程是可靠的，根据求得的结果和所给的数据进行比较，得到所求的方程是可靠的．
点评：本题可选等可能事件的概率，考查线性回归方程的求法，考查最小二乘法，考查估计验算所求的方程是否是可靠的，是一个综合题目．