Question

已知f（x）是奇函数，当x＞0时，f(x)=

2x+3

x+1

（I）当x＜0时，求f（x）的解析式；
（II）用定义证明：f（x）在（0，+∞）上是减函数．

Answer 1

（I）当x＜0时，-x＞0，可得f(-x)=

2(-x)+3

(-x)+1

，
由于f（x）是奇函数，于是f（-x）=-f（x），
所以当x＜0时，f(x)=

2x-3

1-x

．                               （4分）
（II）证明：设x₁，x₂是（0，+∞）上的任意两个实数，且x₁＜x₂，
则f(x1)-f(x2)=

2x1+3

x1+1

-

2x2+3

x2+1

=

x2-x1

(x1+1)(x2+1)

由0＜x₁＜x₂，得x₂-x₁＞0，（x₁+1）（x₂+1）＞0，
于是f（x₁）-f（x₂）＞0，即f（x₁）＞f（x₂）
所以函数f(x)=

2x+3

x+1

在（0，+∞）上是减函数．                    （8分）