Question

已知函数f(x)=1-

2

3x+1

，
（1）求函数f（x）的定义域；
（2）用单调性定义证明：函数f（x）在其定义域上都是增函数；
（3）解不等式f（3m²-m+1）+f（2m-3）＜0．

Answer 1

分析：（1）要求函数定义域，只需分母不为0；
（2）设x₁＜x₂，利用作差证明f（x₁）＜f（x₂）即可；
（3）先判断函数的奇偶性，根据函数的奇偶性、单调性去掉不等式中的符号“f”，转化为二次不等式可解；

解答：（1）解：因为3^x+1＞0，
所以函数f（x）的定义域为R；
（2）证明：设x₁＜x₂，
则f（x₁）-f（x₂）=（1-

2

3x1+1

）-（1-

2

3x2+1

）=

2(3x1-3x2)

(3x1+1)(3x2+1)

，
因为x₁＜x₂，所以3x1-3x2＜0，
所以f（x₁）-f（x₂）＜0，即f（x₁）＜f（x₂），
所以f（x）在其定义域上都是增函数；
（3）因为f（-x）+f（x）
=（1-

2

3-x+1

）+（1-

2

3x+1

）
=2-

2•3x

1+3x

-

2

3x+1

=2-

2(3x+1)

3x+1

=2-2=0，
所以f（-x）=-f（x），
所以f（x）为奇函数，
所以f（3m²-m+1）+f（2m-3）＜0．可化为f（3m²-m+1）＜-f（2m-3）=f（3-2m），
由（2）知f（x）为R上的增函数，
所以3m²-m+1＜3-2m，即3m²+m-2＜0，解得-1＜m＜

2

3

，
所以不等式的解集为（-1，

2

3

）．

点评：本题考查函数的定义域、奇偶性、单调性的判断，考查学生综合运用知识分析解决问题的能力．