Question

       如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是矩形，M、N分别为PA、BC的中点，

PD⊥平面ABCD，且PD=AD=，CD=1

   （1）证明：MN∥平面PCD；

   （2）证明：MC⊥BD；

   （3）求二面角A—PB—D的余弦值。

Answer 1

（3）   

解析:

（1）证明：取AD中点E，连接ME，NE，

       由已知M，N分别是PA，BC的中点，

       ∴ME∥PD，NE∥CD

       又ME，NE平面MNE，MENE=E，

       所以，平面MNE∥平面PCD，                2分

       所以，MN∥平面PCD 3分

   （2）证明：因为PD⊥平面ABCD，

       所以PD⊥DA，PD⊥DC，

       在矩形ABCD中，AD⊥DC，

       如图，以D为坐标原点，

       射线DA，DC，DP分别为

       轴、轴、轴[来源:]

       正半轴建立空间直角坐标系       4分

       则D（0，0，0），A（，0，0），

B（，1，0）（0，1，0），

P（0，0，）         6分

       所以（，0，），，    7分

       ∵·=0，所以MC⊥BD                    8分

  

（3）解：因为ME∥PD，所以ME⊥平面ABCD，ME⊥BD，又BD⊥MC，

       所以BD⊥平面MCE,

       所以CE⊥BD，又CE⊥PD，所以CE⊥平面PBD，             9分

       由已知，所以平面PBD的法向量 10分

       M为等腰直角三角形PAD斜边中点，所以DM⊥PA，

       又CD⊥平面PAD，AB∥CD，所以AB⊥平面PAD，AB⊥DM，

       所以DM⊥平面PAB，               11分

       所以平面PAB的法向量（-，0，）          12分

       设二面角A—PB—D的平面角为θ，

       则.

       所以，二面角A—PB—D的余弦值为.