Question

已知函数f（x）=

1

x+1

（1）证明：f（x）在区间（-1，+∞）上单调递减；
（2）若f（x）≤a在区间[0，+∞）上恒成立，求a的取值范围．

Answer 1

（1）证明：设-1＜x₁＜x₂，
则f（x₁）-f（x₂）=

1

x1+1

-

1

x2+1

=

x2-x1

(x1+1)(x2+1)

．
因为-1＜x₁0，x₂+1＞0，
所以f（x₁）-f（x₂）＞0，即f（x₁）＞f（x₂），
所以函数f（x）=

1

x+1

在（-1，+∞）上单调递减．
（2）f（x）≤a在区间[0，+∞）上恒成立，等价于x∈[0，+∞）时f（x）_max≤a，
由（1）知，f（x）在[0，+∞）上单调递减，所以f（x）_max=f（0）=1，
所以有a≥1，即a的取值范围为[1，+∞）．