Question

椭圆的焦点为F₁、F₂，椭圆上存在点P，使∠F₁PF₂=120°则椭圆的离心率e的取值范围是

1. A.
   
2. B.
   
3. C.
   
4. D.
   

Answer 1

C
分析：先根据椭圆定义得到|PF₁|=a+ex₁，|PF₂|=a-ex₁，再利用余弦定理得到余弦定理得，求出 ，利用椭圆的范围列出不等式求出离心率的范围．
解答：设，P（x₁，y₁），F₁（-c，0），F₂（c，0），c＞0，
则|PF₁|=a+ex₁，|PF₂|=a-ex₁．
在△PF₁F₂中，由余弦定理得 ，
解得 ．
∵x₁²∈（0，a²]，
∴，
即4c²-3a²≥0．且e²＜1
∴．
故椭圆离心率的取范围是 ．
故选C
点评：本题主要考查了椭圆的应用．当P点在短轴的端点时∠F₁PF₂值最大，这个结论可以记住它．在做选择题和填空题的时候直接拿来解决这一类的问题．