题目内容
（2013•韶关二模）△ABC的三个内角A，B，C对应的三条边长分别是a，b，c，且满足csinA+
acosC=0
（1）求C的值；
（2）若cosA=
，c=5
，求sinB和b的值．
| 3 |
（1）求C的值；
（2）若cosA=
| 3 |
| 5 |
| 3 |
分析：（1）已知等式利用正弦定理化简，根据sinA不为0，两边除以sinA再利用同角三角函数间的基本关系求出tanC的值，由C为三角形的内角，利用特殊角的三角函数值即可求出C的度数；
（2）由A为三角形的内角，及cosA的值，利用同角三角函数间的基本关系求出sinA的值，由B=π-A-C，利用诱导公式得到sinB=sin（A+C），利用两角和与差的正弦函数公式化简后，将各自的值代入计算求出sinB的值，由sinB，sinC及c的值，利用正弦定理即可求出b的值．
（2）由A为三角形的内角，及cosA的值，利用同角三角函数间的基本关系求出sinA的值，由B=π-A-C，利用诱导公式得到sinB=sin（A+C），利用两角和与差的正弦函数公式化简后，将各自的值代入计算求出sinB的值，由sinB，sinC及c的值，利用正弦定理即可求出b的值．
解答：解：（1）将csinA+
acosC=0利用正弦定理化简得：2RsinCsinA+2R
sinAcosC=0，
即2sinCsinA+2
sinAcosC=0，
∵sinA≠0，
∴sinC+
cosC=0，即tanC=-
，
∵C∈（0，π），
∴C=
；
（2）∵cosA=
，A∈（0，
），
∴sinA=
=
，
则sinB=sin（π-A-C）=sin（A+C）=sinAcosC+cosAsinC=
×（-
）+
×
=
，
∵sinB=
，c=5
，sinC=sin
=
则由正弦定理
=
，得：b=
=
=3
-4．
| 3 |
| 3 |
即2sinCsinA+2
| 3 |
∵sinA≠0，
∴sinC+
| 3 |
| 3 |
∵C∈（0，π），
∴C=
| 2π |
| 3 |
（2）∵cosA=
| 3 |
| 5 |
| π |
| 2 |
∴sinA=
| 1-cos2A |
| 4 |
| 5 |
则sinB=sin（π-A-C）=sin（A+C）=sinAcosC+cosAsinC=
| 4 |
| 5 |
| 1 |
| 2 |
| 3 |
| 5 |
| ||
| 2 |
3
| ||
| 10 |
∵sinB=
3
| ||
| 10 |
| 3 |
| 2π |
| 3 |
| ||
| 2 |
则由正弦定理
| b |
| sinB |
| c |
| sinC |
| csinB |
| sinC |
5
| ||||||
|
| 3 |
点评：此题考查了正弦定理，两角和与差的正弦函数公式，同角三角函数间的基本关系，以及特殊角的三角函数值，熟练掌握定理及公式是解本题的关键．
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