Question

平面直角坐标系中，O为坐标原点，已知点A（-2，1），B（-1，1），C（m-2，m），若α，β满足，且0≤α≤1，0≤β≤1，则α²+β²的最大值为________．

Answer 1

1
分析：由条件可得3α+2β=m-（m-2）=2，点（α，β ）在线段MN上运动，MN的方程为 3x+2y-2=0（ 0≤x≤1，0≤y≤1），
式子α²+β² 即点（α，β ）到原点的距离的平方，数形结合可得α²+β² 的最大值．
解答：由 α，β满足，且0≤α≤1，0≤β≤1，可得
（m-2，m）=（-2α-β，α+β ），∴3α+2β=m-（m-2）=2．
再由α、β的范围可得点（α，β ）在线段MN上运动，MN的方程为 3x+2y-2=0，（ 0≤x≤1，0≤y≤1）．
要求的式子α²+β² 即点（α，β ）到原点的距离的平方，数形结合可得
α²+β² 的最大值为|OM|²=1，
故答案为 1．

点评：本题主要考查平面向量基本定理及其几何意义，判断α²+β² 即点（α，β ）到原点的距离的平方，是解题的关键，体现了数形结合的数学思想，属于基础题．