题目内容
（2007•闵行区一模）（理）已知△ABC顶点的直角坐标分别为A（a，4）、B（0，b）、C（c，0）．
（1）若a=3，b=0，c=5，求sinA的值；
（2）若虚数x=2+ai（a＞0）是实系数方程x2-cx+5=0的根，且∠A是钝角，求b的取值范围．
（1）若a=3，b=0，c=5，求sinA的值；
（2）若虚数x=2+ai（a＞0）是实系数方程x2-cx+5=0的根，且∠A是钝角，求b的取值范围．
分析：（1）利用两个向量的数量积的定义求出cosA的值，再利用同角三角函数的基本关系求出sinA的值．
（2）由题意可得，虚数x=2-ai也是实系数方程x2-cx+5=0的根，由韦达定理得求得a和c的值，由
•
＜0求出
b的取值范围，再从中除去
、
共线时的b值．
（2）由题意可得，虚数x=2-ai也是实系数方程x2-cx+5=0的根，由韦达定理得求得a和c的值，由
| AB |
| AC |
b的取值范围，再从中除去
| AB |
| AC |
解答：解：（1）∵
=(-3， -4)，
=(2， -4)，（2分）
cosA=
=
=
，且0＜A＜π，（4分）
∴sinA=
=
=
．（6分）
（2）由题意可得，虚数x=2-ai也是实系数方程x2-cx+5=0的根，
由韦达定理得求得 a=1，c=4．（8分）
∴
=(-1， b-4)，
=(3， -4)，（10分）
∵∠A是钝角，由
•
=-3-4b+16＜0，解得 b＞
．（12分）
又
、
共线时，b=
．
故b的取值范围为 {b|b＞
且b≠
}．（14分）
| AB |
| AC |
cosA=
| ||||
|
|
| -6+16 | ||
5•2
|
| 1 | ||
|
∴sinA=
| 1-cos2A |
1-
|
2
| ||
| 5 |
（2）由题意可得，虚数x=2-ai也是实系数方程x2-cx+5=0的根，
由韦达定理得求得 a=1，c=4．（8分）
∴
| AB |
| AC |
∵∠A是钝角，由
| AB |
| AC |
| 13 |
| 4 |
又
| AB |
| AC |
| 16 |
| 3 |
故b的取值范围为 {b|b＞
| 13 |
| 4 |
| 16 |
| 3 |
点评：本题考查两个向量的数量积的定义，同角三角函数的基本关系，注意排除当
、
共线时的情况，这是解题的易错点．
| AB |
| AC |
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