题目内容
如图所示，离心率为
的椭圆
上的点到其左焦点的距离的最大值为3，过椭圆
内一点
的两条直线分别与椭圆交于点
、
和
、
，且满足
，其中
为常数，过点作
的平行线交椭圆于
、
两点.
（1）求椭圆的方程；
（2）若点
，求直线
的方程，并证明点平分线段.
（1）
；（2）详见解析．
解析试题分析：（1）由题得
，
，联立
解这个方程组即得.（2）首先求出直线MN的方程.由于MN过点P（1，1），故只要求出MN的斜率即可.又由于MN平行AB，故先求出直线AB的斜率.设
，则
.由
可得点C的坐标，由
可得点D的坐标，将A、B、C、D的坐标代入椭圆方程得四个等式，利用这四个等式可整体求出，然后求出直线MN的方程，与椭圆方程联立可求得MN的中点坐标即为点P的坐标，从而问题得证 .
（1）由题得，，联立 解得
，
，
，
∴椭圆方程为 4分
（2）方法一：设，由可得
.
∵点在椭圆上，故
整理得：
6分
又点在椭圆上可知
，
故有
①
由，同理可得：
②
②-①得：
，即
9分
又∥，故
∴直线的方程为：
，即
.
由
可得：
∴是的中点，即点平分线段 12分
（2）方法二：∵，，∴
，即
在梯形
中，设中点为
，
中点为
，
过作的平行线交
于点
∵
与
面积相等，∴
∴，，三点共线 6分
设
，
∴
，
，
两式相减得 
，
练习册系列答案
相关题目
分别是椭圆
的 左，右焦点。
的 最大值和最小值。
的左焦点为F1（-1,0），且点P（0,1）在C1上。
相切，求直线l的方程.
的离心率为
，
轴被曲线
截得的线段长等于
的长半轴长。
的方程；
轴的交点为M，过坐标原点O的直线
与
；
.问：是否存在直线
=
?请说明理由。
．称圆心在原点O，半径为
的圆是椭圆C的“准圆”．若椭圆C的一个焦点为
，其短轴上的一个端点到F的距离为
．
，使得
与椭圆C都只有一个交点，试判断
的最小值及此时P点的坐标．
的中心在坐标原点，对称轴为坐标轴，焦点在
轴上，有一个顶点为
，
．
作直线
与椭圆
两点，线段
的中点为
,求直线
的斜率
的取值范围.
的离心率为
，以原点为圆心、椭圆的短半轴长为半径的圆与直线
相切．
的方程；
，过点
作直线
(不与
轴重合)交椭圆于
、
两点，连结
、
分别交直线
于
、
两点，试探究直线
、
的斜率之积是否为定值，若为定值，请求出；若不为定值，请说明理由．
，点A、B在抛物线C上.
=4p，求过A，B，O（O为坐标原点）三点的圆的方程；
，且
，问直线AB是否会过某一定点？若是，求出这一定点的坐标，若不是，请说明理由.