Question

在等比数列中，

   （1）求数列的通项公式；

   （2）设数列的前项和为，求

Answer 1

解：

（Ⅰ）设等比数列{a_n}的公比为q，依题意

解得a₁＝2，q＝2，

∴a_n＝2·2^n－1＝2ⁿ．                                                                               …4分

（Ⅱ）S_n＝＝2(2ⁿ－1)，                                                                      …6分

所以

S₁＋2S₂＋…＋nS_n＝2[(2＋2·2²＋…＋n·2ⁿ)－(1＋2＋…＋n)]，

设T_n＝2＋2·2²＋…＋n·2ⁿ，                                                                ①

则2T_n＝2²＋2·2³＋…＋n·2^n＋1，                                                          ②

①－②，得

－T_n＝2＋2²＋…＋2ⁿ－n·2^n＋1＝－n·2^n＋1＝(1－n)2^n＋1－2，

∴T_n＝(n－1)2^n＋1＋2，                                                                            …9分

∴S₁＋2S₂＋…＋nS_n＝2[(n－1)2^n＋1＋2]－n(n＋1)

＝(n－1)2^n＋2＋4－n(n＋1)．                                                                            …12分