Question

中心在原点，焦点在x轴上的一椭圆与一双曲线有共同的焦点F₁，F₂，且，椭圆的长半轴与双曲线的实半轴之差为4，离心率之比为3：7．
（Ⅰ）求椭圆和双曲线的方程；
（Ⅱ）若P为双曲线与椭圆的交点，求cos∠F₁PF₂．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）根据半焦距c=，设椭圆长半轴为a，由离心率之比求出a，进而求出椭圆短半轴的长及双曲线的虚半轴的长，写出椭圆和双曲线的标准方程．
（Ⅱ）由椭圆、双曲线的定义求出PF₁与PF₂的长，三角形F₁PF₂中，利用余弦定理求出 cos∠F₁PF₂ 的值．
解答：解：（Ⅰ）由题意知，半焦距c=，设椭圆长半轴为a，则双曲线实半轴 a-4，
离心率之比为=，
∴a=7，
∴椭圆的短半轴等于=6，
双曲线虚半轴的长为=2，
∴椭圆和双曲线的方程分别为：
和 ．
（Ⅱ）由椭圆的定义得：PF₁ +PF₂=2a=14，
由双曲线的定义得：PF₁-PF₂=±6，
∴PF₁与PF₂中，一个是10，另一个是 4，不妨令PF₁=10，PF₂=4，
又F₁F₂=2，三角形F₁PF₂中，利用余弦定理得：=100+16-80cos∠F₁PF₂，
∴cos∠F₁PF₂=．
点评：本题考查椭圆、双曲线标的定义应用和标准方程的求法，以及利用余弦定理解三角形．