Question

某企业拟共用10万元投资甲、乙两种商品．已知各投入x万元，甲、乙两种商品可分别获得y₁，y₂万元的利润，利润曲线P₁，P₂如图，仔细观察图象，为使投资获得最大利润，应怎样分配投资额，才能获最大利润．

Answer 1

分析：根据函数的模型设出函数解析式，从两个图中分别找出特殊点坐标，代入函数解析式求出两个函数解析式．将企业获利表示成对产品乙投资x的函数；将函数中的

x

换元为t，将函数转化为二次函数，求出对称轴，求出函数的最值．

解答：解：投资为x万元，
甲、乙两产品获得的利润分别为g（x）、f（x）万元，
由题意，g（x）=k₁x，f（x）=k₂

x

，（k₁，k₂≠0；x≥0）（3分）
又由图知g（1）=1.25，f（4）=2.5；
解得k₁=

1

4

甲，k₂=

5

4

，
∴g（x）=

1

4

x（x≥0）；f（x）=

5

4

x

（x≥0）（8分）
再设对甲产品投资x万元，则对乙产品投资（10-x）万元，
记企业获取的利润为y万元，
则y=

1

4

（10-x）+

5

4

x

（x≥0）（10分）
设

x

=t，则x=t²，（0≤t≤

10

）
∴y=-

1

4

（t-

5

2

）²+

65

16

，当t=

5

2

也即x=

25

4

时，y取最大值

65

16

（14分）
答：对甲产品投资

25

4

万元，对乙产品投资

15

4

万元时，可获最大利润

65

16

万元．

点评：本题考查将实际问题的最值问题转化为函数的最值问题、考查利用待定系数法求函数的解析式、考查换元法注意新变量的范围、二次函数的最值与对称轴有关．