Question

（2012•泸州模拟）已知函数f(x)=sin(ωx+

π

6

)+cos(ωx-

π

6

)(ω＞0，x∈R)的最小正周期为π．
（I）求函数f（x）的解析式；
（II）求函数f（x）的最大值及取最大值时x的集合．

Answer 1

分析：（I）利用三角函数的恒等变换化简函数f（x）的解析式为

6 + 2

2

sin（ωx+

π

4

），根据它的周期求出ω=2，即可得到函数f（x）的解析式．
（II）对于函数f（x），当2x+

π

4

=2kπ+

π

2

，k∈z时，函数f（x）取得最大值为

6 + 2

2

，由此求得函数f（x）取得最大值时x的集合．

解答：解：（I）函数 f(x)=sin(ωx+

π

6

)+cos(ωx-

π

6

)=

3

2

sinωx+

1

2

cosωx+

3

2

cosωx+

1

2

sinωx
=

3 +1

2

（sinωx+cosωx）=

6 + 2

2

sin（ωx+

π

4

）．
∵函数f（x）的最小正周期为π，
∴

2π

ω

=π，ω=2，
故函数f（x）=

6 + 2

2

sin（2x+

π

4

）．
（II）对于函数f（x），当2x+

π

4

=2kπ+

π

2

，k∈z时，函数f（x）取得最大值为

6 + 2

2

，
此时，由2x+

π

4

=2kπ+

π

2

，k∈z解得  x=kπ+

π

8

，k∈z，
故函数f（x）取得最大值时x的集合为{x|x=kπ+

π

8

，k∈z }．

点评：本题主要考查三角函数的恒等变换，函数y=Asin（ωx+∅）的图象、性质的应用，属于中档题．