Question

设x,y∈R,i、j为直角坐标系的单位向量，a=xi+(y+2)j,b=xi+(y-2)j,|a|+|b|=8.

(1)求动点M(x,y)的轨迹C的方程.

(2)过A(0,3)作直线L与曲线C交于A、B两点，若=+.是否存在直线L使得OAPB为矩形?若存在，求出直线L的方程；若不存在，请说明理由.

Answer 1

解：(1)∵a=xi+(y+2)j,b=xi+(y+2)j,|a|+|b|=8.

    ∴动点M(x,y)到定点F₁(0，-2)、F₂(0,2)的距离之和为8.

    ∴曲线C的轨迹方程为+=1.

    (2)直线L过N(0,3)，若L是y轴，则A、B是椭圆的顶点.

    ∵=+=0,

    ∴P与O重合,与OAPB为矩形矛盾.

    ∴直线L的斜率存在.

    设L:y=kx+3,A(x₁,y₁),B(x₂,y₂),

    由得(4+3k²)x²+18kx-21=0.

    ∵Δ=64k²+845(4+3k²)＞0恒成立，

    ∴由韦达定理得x₁+x₂=,x₁·x₂=.

    ∵=+,

    ∴OAPB是平行四边形.

    若存在L，使它为矩形，则⊥，即·=0.

    ∴x₁·x₂+y₁·y₂=0,

    即(1+k²)x₁x₂+3k(x₁+x₂)+9=0.

    ∴(1+k²)·(-)+3k·(-)+9=0.

    k²=,k=±.

    所求直线l的方程为y=±x+3.