Question

9．$α∈（0，\frac{π}{2}）$，方程x²sinα+y²cosα=1表示焦点在y轴上的椭圆，则α的取值范围是（　　）

• A． $（0，\frac{π}{4}）$
• B． $（0，\frac{π}{6}）$
• C． $（\frac{π}{6}，\frac{π}{2}）$
• D． $（\frac{π}{4}，\frac{π}{2}）$

Answer 1

分析 先根据椭圆焦点在y轴上得出$\frac{1}{sinα}$＜$\frac{1}{cosα}$，然后由cosα=sin（$\frac{π}{2}$-α），进而根据正弦函数的单调性求出α的取值范围．

解答 解：$α∈（0，\frac{π}{2}）$，方程x²sinα+y²cosα=1即为
$\frac{{x}^{2}}{\frac{1}{sinα}}$+$\frac{{y}^{2}}{\frac{1}{cosα}}$=1，
∵焦点在y轴上，
∴$\frac{1}{sinα}$＜$\frac{1}{cosα}$，
∴sinα＞cosα，
即sinα＞sin（$\frac{π}{2}$-α），
∵0＜α＜$\frac{π}{2}$，
∴α＞$\frac{π}{2}$-α，即$\frac{π}{4}$＜α＜$\frac{π}{2}$．
故选：D．

点评 本题主要考查了椭圆的标准方程和焦点位置，同时考查诱导公式及三角函数的性质，属于中档题．