Question

已知数列{a_n}满足：，且．
（1）求a₂，a₃，a₄；
（2）求证：数列{b_n}为等比数列，并求其通项公式；
（3）若S_2n+1=a₁+a₂+…+a_2n+a_2n+1，求S_2n+1．

Answer 1

【答案】分析：（1）直接把n=1，2，3代入已知递推公式中即可求解a₂，a₃，a₄；
（2）由等比数列的定义，只要证明为常数即可，然后结合等比数列的通项公式可求
（3）由a_2n=b_n+2，a_2n+1=a_2n-4n=b_n+2-4n，可利用分组求和，结合等差数列与等比数列的求和公式即可求解
解答：（1）解：∵，
∴，…（2分）
（2）证明：由题意可得，当=
∴，
∴数列{b_n}是以-为首项，以为公比的等比数列
∴…（6分）
（3）解：∵a_2n=b_n+2，a_2n+1=a_2n-4n=b_n+2-4n
∴S_2n+1=a₁+a₂+…+a_2n+a_2n+1=（a₂+a₄+…+a_2n）+（a₁+a₃+a₅+…+a_2n+1）
=（b₁+b₂+…+b_n+2n）+[a₁+（b₁-4×1）+（b₂-4×2）+…+（b_n-4×n）+2n]
=a₁+2（b₁+b₂+…+b_n）-4×（1+2+…+n）+4n
=．…（12分）
点评：本题 主要考查了利用数列的递推公式求解数列的项，等比数列的定义在等比数列的证明中的应用，分组求和方法及等比数列、等差数列的求和公式等 知识的综合应用