Question

数列{a_n}的前n项和为．S_n（b_n+3b_n-b_n+1²）+b_n+1b_n=0．
（I）求{a_n}，{b_n}的通项公式；
（II）求证：b₃+b₂+…+b_n＜4．

Answer 1

解：（I）由，得，，
∴，
∴，
又，
∴，
∴，n≥2，
∴a_n=4n（n≥2）．
∵a₁=4满足上式，
∴a_n=4n．
∵{a_n}是等差数列，，
∴2n（n+1）（b_n+2b_n-b_n+1²）+b_n+1b_n=0，
，
∴，
当n≥3时，，

=-
=-
=-
=．
=，
∴，显然，n=1，n=2时，上式也成立，
∴，n≥1．
（II）令，
，
两式相减，得
=
=，
∴，
∴b₃+b₂+…+b_n＜4．
分析：（I）由，得，，故，，所以，由此导a_n=4n．，所以2n（n+1）（b_n+2b_n-b_n+1²）+b_n+1b_n=0，，由此能求出}{b_n}的通项公式．
（II）令，由错位相减法知，由此能够证明b₃+b₂+…+b_n＜4．
点评：第（I）题考查利用数列的递推公式求解通项公式的方法；第（II）题考查利用累加法求解数列前n项和的方法，解题时要认真审题，仔细解答．
（本题应该把S_n（b_n+3b_n-b_n+1²）+b_n+1b_n=0修改为：S_n（b_n+2b_n-b_n+1²）+b_n+1b_n=0．）