Question

如图，已知双曲线S的两条渐近线过坐标原点且与以点A（，0）为圆心，1为半径的圆相切，双曲线S的一个顶点A′与A关于直线y=x对称，设直线l过点A，且斜率为k.

（1）求双曲线S的方程；

（2）当k=1时，在双曲线S的上支上求点B，使其与直线l的距离为；

（3）当0≤k＜1时，若双曲线S的上支上有且只有一个点B到直线l的距离为，求斜率k的值及相应的点B的坐标.

Answer 1

思路解析：本题是直线方程、点到直线的距离、圆、双曲线等知识的综合运用.（1）、（2）按条件求解不难.（3）可用数形结合，作一条与l平行且与l相距为的直线l′，使l′与双曲线S的上支相切，切点即为所求.

解：（1）由已知得双曲线的渐近线为y=±x，因而S为等轴双曲线，顶点A′与A（，0）关于直线y=x对称.∴A′（0，），∴所求双曲线S的方程为y²-x²=2.

（2）若B（x,）是双曲线S的上支上到l：y=x-的距离为的点，则=,解得x=,y=2,∴点B的坐标为（，2）.

（3）当0≤k＜1时，双曲线S的上支在直线l的上方，∴点B在直线l的上方，设直线l′与l：y=k(x-)平行且距离为，直线l′在l的上方，双曲线S的上支上有且只有一个点B到直线l的距离为，等价于直线l′与双曲线S的上支有且只有一个公共点.设l′的方程为y=kx+m，由于l上的点A到l′的距离为，可知=,解得m=(± -k).∵直线l′在直线l的上方，∴m=(-k).由方程y²-x²=2及y=kx+m消去y，得(k²-1)x²+2mkx+m²-2=0.

∵k²≠1,∴Δ=4(m²-2+2k²)=8k(3k-2).

令Δ=0，∵0≤k＜1,解得k=0或k=.

当k=0时，m=,解得点B的坐标为(0, )；

当k=时，m=,解得点B的坐标为(2,).