Question

点P是以F_l、F₂为左、右焦点的双曲线E：=1(a＞0，b＞0)上的一点，已知=0，,O为坐标原点．

(Ⅰ)求双曲线的离心率e；

(Ⅱ)过点P作直线分别与双曲线两渐近线相交于P₁、P₂两点，且=-，2=0，求双曲线E的方程；

(Ⅲ)设直线l：y=kx+1(k∈R)与(Ⅱ)中的双曲线E交于A、B两点，若总存在实数λ，使=λ+(1-λ) ，求k．

Answer 1

解：(Ⅰ)∵|PF₁|=2|PF₂|，|PF₁|-|PF₂|=2a，

∴|PF₁|=4a，|PF₂|=2a

∵PF₁⊥PF₂，∴(4a)²+(2a)²=(2c)²，

∴e=

(Ⅱ)由(Ⅰ)知双曲线的方程可设为=1，渐近线方程为了y=±2x

设P₁(x₁，2x₁)，P₂(x₂，-2x₂)，P(x，y)

∵=-3x₁x₂=,  ∴x₁x₂=，

∵2,∴

∵点P在双曲线上，∴=1，

化简得x₁x₂=，

∴=,∴a²=2，

∴双曲线的方程为=1 

(Ⅲ)由(Ⅱ)知双曲线的方程为：=1，

∴F₂(，0)，

又∵,∴

即：A、F₂、B三点共线，

故直线l过F₂，有k+1=0，

∴k=