Question

已知函数f（x）=sinx+acosx的一个零点是．
（Ⅰ）求实数a的值；
（Ⅱ）设g（x）=[f（x）]²-2sin²x，求g（x）的单调递增区间．

Answer 1

解：（Ⅰ）∵f（x）=sinx+acosx，且，
∴，
即，解之得a=1．
（Ⅱ）由（Ⅰ）得 f（x）=sinx+cosx．
∴g（x）=[f（x）]²-2sin²x
=（sinx+cosx）²-2sin²x=sin2x+cos2x=．
解不等式，
得 ，k∈Z．
∴函数g（x）的单调递增区间为，k∈Z．
分析：（I）根据函数解析式，得f（）=，将sin=、cos=-代入，即可解出a的值；
（II）由（Ⅰ）得 f（x）=sinx+cosx，由二倍角的余弦公式和辅助角公式，化简整理得g（x）=，结合正弦函数的单调性，解关于x的不等式即可得到求g（x）的单调递增区间．
点评：本题给出三角函数式，求实数a的值并求函数的单调区间，着重考查了三角恒等变换、不等式的解法和三角函数的图象与性质等知识，属于基础题．