Question

【题目】设 为实数，且,

(I)求方程的解；

(II)若满足，求证：①②；

(III)在（2）的条件下，求证：由关系式所得到的关于的方程存在，使

Answer 1

【答案】（Ⅰ）或； （Ⅱ）见解析；（Ⅲ）见解析 .

【解析】

(I)由f（x）=1，得lnx=±1，即可求方程f（x）=1的解；

(II)①证明ln（ab）=0即可；②令，（b∈（1，+∞）），证明（b）

在（1，+∞）上为增函数，即可证明结论；

(III)令h（b）=，因为h（3）＜0，h（4）＞0，即可得出结论．

(I)由，得所以或。

(II)证明：①因为，且，可判断，

所以，即即，则

②由①得令，（）

任取且

因为

===

，

在上为增函数，

，.

(III)证明：

，得又

令 ，因为

根据函数零点的判断条件可知，函数在（3,4）内一定存在零点，

即存在使