题目内容

在△ABC中，O为中线AM上的一个动点，若AM=2，则 $数学公式$ 的最小值是

A.
-4
B.
-2
C.
2
D.
4

B
分析：由题意画出草图分析，由于在△ABC中，O为中线AM上的一个动点，所以 $\text{[math]}$ =2 $\text{[math]}$ ，所以 $\text{[math]}$ ═ $\text{[math]}$ •2 $\text{[math]}$ ，而|OA|+|OM|=2≥2 $\text{[math]}$ 利用均值不等式即可求得．
解答：由题意画出草图：

由于点M为△ABC中边BC的中点，∴ $\text{[math]}$ =2 $\text{[math]}$ ，
∴ $\text{[math]}$ •（ $\text{[math]}$ ）= $\text{[math]}$ •2 $\text{[math]}$ =-2|OA|•|OM|．
∵O为中线AM上的一个动点，即A、O、M三点共线
∴|AM|=|OA|+|OM|=2≥2 $\text{[math]}$ （当且仅当“OA=OM“时取等号）?|OA|•|OM|≤1，
又 $\text{[math]}$ •2 $\text{[math]}$ =-2|OA|•|OM|≥-2，所以则 $\text{[math]}$ 的最小值为-2．
故选B
点评：此题考查了三角形的中线，两向量的和的平行四边形法则，均值不等式及不等式的性质．

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